BARISAN DAN DERET

1. Barisan Aritmatika
Perhatikan barisan berikut.
1. 1,3,5,7,…
2. 2,6,10,40,30,…
3. 60,50,40,30,…

Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U , U , U , …..U ialah barisan aritmatika,jika:

U - U = U -U =…….= U - U = konstan

Konstan ini disebut beda dan dinyatakan dengan b.
Untuk 1, 3, 5, 7 bedanya ialah 3 – 1 = 4 – 3 =7 – 5 =….=
Untuk 60, 50, 40, 20,….bedanya ialah 50 - 60 = 40 – 50 = 30 – 40 = -10

a. Rumus suku ke n.
Jika suku pertama dinamakan a, kita mendapatkan:
U - U = b U = U - b = a + b
U - U = b U = U - b = (a + b) + b = a + 2b
- U = b = U + b = (a + 2b) + b = a + 3b
dan seterusnya.

Ini memberikan barisan Aritmatika baku.
A, a + b, a + 2b, a + 3b, … , a + (n – 1) b
Rumus suku ke n adalah = a + (n – 1) b.


Contoh 1
Carilah suku ke 40 dari barisan aritmatika 1, 6, 11, 16, …

Penyelesaian:
A = 1, b = 6 – 1, n = 40
= a + (n – 1) b
= 1 (40 – 1) 5 = 196.

Contoh 2
Carilah suku pertama dan bedanya, jika diketahui suku kesepuluh 41 dan suku ketiga ialah 20.

Penyelesaian:
= a + ( 10 – 1) b = a ( 3 – 1) b
= a + 9b = a + 2b
a = 9b = 41…….(1) a + 2b = 20 …….(2)

Sistem persamaannya:
a + 9b = 41
a + 2b = 20
7b = 21
b = 3

b = 3 substitusi ke persamaan (1), didapat:
a + 9.(3) = 41
a = 14
adi suku pertama (a) = 14 dan beda (b) = 3.

Contoh 3
Carilah rumus suku ke n dari barisan:
2, 4, 6, 8, ………..

Penyelesaian:
Suku pertama (a) 2 dan beda (b) = 4 – 2 = 2
Suku ke n: U = a + ( n – 1 ) b
U = 2 + ( n – 1 ) 2
U = 2 + 2n - 2
U = 2n


b. Rata-rata dari suatu barisan Aritmatika ( Mean Aritmatika ).
Kadang-kadang kita harus mencari mean aritmatika dua buah bilangan, P dan Q. Ini berarti kita harus menyisipkan sebuah bilangan A diantara P dan Q, sedemikian rupa sehingga p + A + Q membentuk sebuah deret aritmetika A – P = b dan Q – A = b.
Jadi A – P = Q - A
2A = P + Q
A =
Ternyata mean aritmetik dua bilangan tidal lain dari pada nilai tengahnya.

Contoh 1
Hitunglah mean aritmetika dari 23 dan 58!

Jawab:

Mean aritmetika = = 40,5
Jika kita diminta untuk menyisipkan 3 buah mean aritmetik diantara dua buah bilangan yang diketahui, P dan Q berarti kita harus menyisipkan 3 buah bilangan A, B, dan C diantara Pdan Q sedemikian hingga P + A + B + C + Q merupakan deret aritmetik.

Contoh 2
Sisipkan tiga buah mean aritmetik diantara dua buah bilangan 8 dan 18.

Jawab:
8 + A + B + C + 18
U = 8 dan U = a + 4b = 18
a = 8
4b = 10
b = 2.5
a + 4b = 18
A = a + b =8 + 2.5 = 10.5
B = a + 2b = 8 + 2(,.5) = 13
C = a + 3b = 8 + 3(2,5) = 15,5
Jadi mean aritmetik yang dicari adalah 10,5 ; 13 dan 15,5.

2. DERET ARITMETIK
Deret aritmetik disebut juga deret hitung. Jumlah n suku pertama deret aritmetik ditulis S Jadi artinya suku pertama dan seterusnya. Kita dapat mencari rumus untuk jumlah dari deret aritmrtika baku:
A + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b]
Dengan cara:

Misalkan suku terakhir U , maka suku sebelumnya ialah U - b, sebelumnya lagi U - 2b dan seterusnya.





Jadi S = a + (a + b) + (a + 2b) +…+ (U + 2b) + (U -b) + U
S = U + (U - b) +( U + 2b) +…+ (a + 2b) + (a + b) + a

2 S = (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) + … + (a + U ) + (a +U ) + (a + U )
2 S = n (a + U )
S = , yaitu n x (rata-rata dari suku pertama dan terakhir)
Atau S = n{a + (a + (n – 1) b]},karena U = a +(n + 1)b
= n

Contoh 1
Carilah jumlah 50 suku yang pertama dari deret aritmetika
2 + 3 + 4 + …
Jawab:
a = 2 , b = 3 – 2 = 1 dan n = 50
S = .50 (2.2 + (50- 1). 1)
= 25(4 + 49)
= 25(53)
=1325

Contoh 2
Carilah jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 2.

Jawab:
Penyelesaian: a = 2, b = 2 dan U = 98
Kita harus mencari dulu n.
U = a + (n – 1) b
98 = 2 + (n – 1) 2
98 = 2 + 2n – 2
2n = 98
n = 49
S = n
= .49 (2 + 98)
= 2450

wdcfawqafwef